在中国，根据《中华人民共和国个人信息保护法》等相关法律法规，个人信息的获取和保护有着严格的规定。以下是对您问题的分析和建议：
相关部门：根据不同情况，可能涉及工商、市场监管、网络信息管理部门等。
申请时间：
相关部门：不同部门的规定可能有所不同，但通常也会在法定时限内处理。
法定时限：
收集和整理证明对方侵犯您名誉权的证据。
向公安机关申请：
提供上述材料，并说明需要获取的个人信息。
等待答复：
按照法定时限等待公安机关的答复。
起诉：
总之，根据法律规定，您可以通过合法途径向公安机关或相关部门申请获取对方个人信息，并在法定时限内得到答复。在申请过程中，确保提供完整、准确的材料，并耐心等待处理结果。
提醒：未面谈及查看证据材料，律师回答仅供参考。
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