根据您提供的情况，家属对第一家医院的病历连贯性问题提出质疑，并希望起诉至法院进行死因鉴定。以下是对这一法律问题的分析：
如果第一家医院的病历存在连贯性问题，可能影响后续治疗机构的判断，从而影响治疗效果。
第一家医院的法律责任：
家属可以依据《侵权责任法》、《医疗事故处理条例》等相关法律法规，向法院提起诉讼。
第二家医院的法律责任：
然而，根据您提供的信息，家属明确表示不追究第二家医院的责任，因此第二家医院可能不需要直接被起诉。
是否需要第二家医院起诉：
在鉴定结果出来后，家属可以向法院提起诉讼，要求第一家医院承担相应的法律责任。
第二家医院行动：
如果第二家医院被卷入诉讼，它应当委托专业律师进行法律辩护。
法律程序：
综上所述，第二家医院在这种情况下不需要主动起诉第一家医院，而是应当配合家属和法院的调查，并在必要时提供法律辩护。
提醒：未面谈及查看证据材料，律师回答仅供参考。
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