根据您描述的情况，以下是针对您遇到的法律问题和应对建议的分析：
侵权责任：根据《中华人民共和国侵权责任法》第78条规定，饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任。因此，作为狗的饲养人，狗主人有责任承担狗造成他人损害的后果。
紧急避险：虽然您在开车时没有注意压到狗，但如果您当时确实因为紧急避险（例如上班时间紧迫）而未能立即停车，这可能可以作为减轻责任的依据。
医疗费用：狗主人要求您带狗去医院治疗，这属于狗饲养人应有的责任范围。如果狗因您的行为受伤，您有义务配合狗主人将其送医。
沟通协商：首先，您应该与狗主人进行沟通，说明您的情况，包括紧急上班的必要性以及事故发生的经过。表达您愿意承担责任，并愿意配合治疗。
现场拍照：如果您没有立即停车，请在事后尽可能拍摄现场照片，作为紧急避险的证据。
陪同就医：您应该陪同狗主人带狗去医院治疗，并支付必要的医疗费用。这不仅是法律规定的责任，也是体现人道主义精神的行为。
法律咨询：如果您担心可能承担过重的责任，可以咨询专业律师，了解具体法律规定，评估可能的法律风险。
赔偿协商：治疗结束后，您可以根据医疗费用与狗主人进行协商，看是否可以适当补偿。如果狗主人提出过高的赔偿要求，您也可以通过法律途径解决。
虽然您在此次事件中可能存在一定的责任，但紧急避险可以作为减轻责任的依据。关键在于与狗主人进行有效沟通，承担责任并积极配合治疗。同时，保留相关证据，并在必要时寻求法律帮助。
提醒：未面谈及查看证据材料，律师回答仅供参考。
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