根据中国《劳动合同法》的相关规定，以下是对您提出问题的法律分析和建议：
合同续签的义务：根据《劳动合同法》第十四条，用人单位与劳动者协商一致，可以续订劳动合同。如果双方同意续签，且不存在法律规定的不得续签的情形，双方应当续签劳动合同。
自动续签的情况：根据《劳动合同法》第十四条第三款，劳动合同期满，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
合同到期未续签的处理：如果合同到期后，用人单位提出续签合同，但员工拖延不签订，这种情况并不直接导致劳动合同自动解除。但是，根据《劳动合同法》第十四条第四款，如果用人单位未及时与劳动者续订劳动合同，自劳动合同期满的次日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者支付二倍的工资。
自动解除劳动合同的期限：关于自动解除劳动合同的期限，法律没有明确规定。但根据《劳动合同法》第四十六条的规定，劳动合同期满，劳动者没有续签意愿，用人单位也没有提出续签，双方均未提出解除劳动合同，则劳动合同自然终止。
沟通协商：首先，建议公司尝试与员工进行沟通，了解其拖延签订合同的原因，并尝试达成一致意见。
书面通知：如果员工仍拖延不签订合同，公司可以发出书面通知，明确表示愿意续签合同，并告知员工在一定期限内（如一个月内）完成合同签订手续。
等待期限：在员工未在通知期限内签订合同的情况下，公司应等待一个月的时间。若一个月后员工仍未签订合同，公司可以认为员工不接受续签，此时劳动合同自然终止。
支付工资：在此期间，公司应继续支付员工正常工资，直至劳动合同自然终止。
法律风险提示：如果员工认为公司未及时续签合同侵犯了其合法权益，可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
请注意，具体情况可能因地区和个案而异，建议在处理此类问题时，根据实际情况咨询专业律师。
提醒：未面谈及查看证据材料，律师回答仅供参考。
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