首先，根据您提供的情况，以下是对您所遇到问题的法律分析：
劳动合同的签订：根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条规定，用人单位与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。虽然您的厨师没有签订书面劳动合同，但这并不意味着双方之间没有劳动关系。根据《劳动合同法》第七条规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。
工资支付：《劳动合同法》第三十八条规定，用人单位应当按照国家规定和劳动合同的约定，及时足额支付劳动者工资。即使没有签订书面劳动合同，工资支付也应当遵循上述规定。
离职与工资结算：根据您的情况，厨师在9日提出离职，而老板答应在19日结束结算工资。根据《劳动合同法》第四十七条规定，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
针对您提出的问题，以下是一些建议和解决方案：
沟通协商：首先，建议您与老板进行沟通，了解其反悔的原因。如果老板拒绝支付工资，可以尝试解释法律规定，并指出未签订书面劳动合同并不意味着双方没有劳动关系，工资支付仍然受法律保护。
收集证据：为了保障自己的权益，建议收集以下证据：
老板答应支付工资的录音、短信或邮件等。
劳动仲裁：如果沟通无效，可以向当地劳动仲裁委员会申请仲裁。根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二条，劳动争议仲裁委员会负责处理劳动争议。在仲裁过程中，您可以要求老板支付工资和经济补偿。
法律援助：如果您在仲裁过程中遇到困难，可以寻求法律援助。许多地方的公共法律服务中心为符合条件的劳动者提供免费的法律援助。
总之，虽然您的厨师未签订书面劳动合同，但仍然享有劳动者的合法权益。在遇到工资拖欠问题时，建议采取上述措施维护自己的权益。祝您好运！
提醒：未面谈及查看证据材料，律师回答仅供参考。
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