根据中国劳动法律的相关规定，以下是针对您提出的情况的法律分析及建议：
未签订劳动合同：根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定，用人单位应当与劳动者签订书面劳动合同。您在原单位工作了7个半月未签订劳动合同，属于用人单位的违法行为。
生病期间被辞退：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得解除劳动合同。如果您的辞退发生在医疗期内，这同样违反了法律规定。
申请仲裁：根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二条的规定，因确认劳动关系、劳动合同订立、履行、变更、解除和终止等发生的争议，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
收集证据：收集与您工作期间相关的证据，如工资条、工作证、同事证言等，以证明您与原单位存在劳动关系。
申请仲裁：您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求原单位支付未签订劳动合同的双倍工资、赔偿医疗期内的违法辞退赔偿金等。
仲裁程序：提交仲裁申请书及相关证据，按照仲裁委员会的通知参加仲裁程序。
法律援助：如果经济条件允许，可以考虑聘请专业律师代理您的案件，以获得更专业的法律帮助。
注意事项：在仲裁过程中，注意保持冷静，按照仲裁委员会的要求提供相关材料，并按照仲裁程序进行。
根据以上分析，您在工作期间未签订劳动合同，生病期间被辞退，是可以申请仲裁的。建议您收集相关证据，按照法定程序申请仲裁，维护自己的合法权益。
提醒：未面谈及查看证据材料，律师回答仅供参考。
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