根据中国的劳动法律法规，您可以申请劳动仲裁。
首先，关于未签订劳动合同的问题，根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定，用人单位应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。您在职五个多月而公司未与您签订书面劳动合同，已经违反了法律规定。
其次，关于未缴纳社保的问题，根据《中华人民共和国社会保险法》的规定，用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记。用人单位未依法为劳动者缴纳社会保险费的，劳动者可以要求用人单位补缴，并承担相应的法律责任。
最后，关于辞退的理由，如果公司以您请假多为由辞退您，需要具体分析。如果请假是符合法律规定的，如病假、事假等，公司不能仅以此为由辞退您。如果请假超出了合理范围，且未得到公司批准，公司有权根据公司规章制度进行处理。
基于以上分析，您可以采取以下措施：
收集证据：收集与公司未签订劳动合同、未缴纳社保、辞退理由相关的证据，如工资条、考勤记录、请假条、与公司沟通的记录等。
申请仲裁：根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的规定，您可以在争议发生之日起一年内向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
仲裁请求：在仲裁中，您可以提出以下请求：
要求公司支付未签订书面劳动合同的双倍工资。
咨询律师：为了更好地维护您的合法权益，建议您咨询专业律师，以便在仲裁过程中得到更专业的法律帮助。
总之，您可以申请仲裁，要求公司承担相应的法律责任，并维护自己的合法权益。
提醒：未面谈及查看证据材料，律师回答仅供参考。
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