根据中国现行的劳动法律法规，劳动合同到期后，如果双方没有续签合同，但员工继续在原单位工作，这种情况的法律分析如下：
《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条规定：“有下列情形之一的，劳动合同终止：（一）劳动合同期满的；（二）劳动者开始依法享受基本养老保险待遇的；（三）劳动者死亡，或者被人民法院宣告死亡或者宣告失踪的；（四）用人单位被依法宣告破产的；（五）用人单位被吊销营业执照、责令关闭、撤销或者用人单位决定提前解散的；（六）法律、行政法规规定的其他情形。”
法律分析：
如果员工在劳动合同到期后继续工作数月，且双方没有明确表示终止劳动关系，那么员工可以要求用人单位支付未签订书面劳动合同的二倍工资。
赔偿请求：
具体到索要赔偿的问题，如果员工认为用人单位存在违法解除劳动合同的行为，可以依据《劳动合同法》第四十六条的规定，向劳动仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付赔偿。
解决方案和建议：
总之，劳动合同到期后未续签，继续工作数月，员工是否有权索要赔偿，需要根据具体情况进行判断。在处理此类问题时，建议员工依法行事，维护自己的合法权益。
提醒：未面谈及查看证据材料，律师回答仅供参考。
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