根据中国劳动法的相关规定，合同到期后，公司未续签合同，但员工仍在公司工作，这种情况需要根据具体情况进行判断。
合同到期未续签：如果合同到期后，公司没有与员工续签合同，按照《中华人民共和国劳动合同法》的规定，公司应当与员工协商一致，续签劳动合同。
员工继续工作：如果员工在合同到期后继续工作，但公司没有与员工续签合同，且员工有考勤记录、工资发放证明、工牌等证据证明其一直在公司工作，那么以下几种情况可能发生：
公司未提出终止劳动关系：如果公司没有提出终止劳动关系，而是默认员工继续工作，那么实际上形成了一种事实劳动关系。在这种情况下，公司应当与员工补签劳动合同，并按照原劳动合同约定的条件继续履行。
公司提出终止劳动关系：如果公司提出终止劳动关系，但员工继续工作，那么公司需要支付经济补偿金。
双倍工资：关于双倍工资，根据《劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。但是，如果员工在合同到期后继续工作，公司已经支付了工资，并且没有超过一个月未签订书面劳动合同，那么公司不需要支付双倍工资。
解决方案和合理建议：
补签合同：如果员工继续工作，公司应当尽快与员工补签劳动合同，明确双方的权利和义务。
支付经济补偿金：如果公司提出终止劳动关系，但员工继续工作，公司需要按照法律规定支付经济补偿金。
保留证据：员工应保留好考勤记录、工资发放证明、工牌等证据，以证明自己在合同到期后仍在公司工作。
咨询专业律师：在处理此类问题时，建议咨询专业律师，以获取更详细的法律意见和解决方案。
提醒：未面谈及查看证据材料，律师回答仅供参考。
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